どうやって分布からパラメタを推定する？KernelABCはいかが？

02/02/202102/10/2021

この記事で書くこと

• パラメタ推定タスクの話
• ABC(approximate Bayesian computation)の話
• Kernel ABCのPythonコード

そもそもパラメタ推定とは？

すっごい簡単に書くと「予測モデルのパラメタを推定すること」です。

で、誰がそんなことしたいの？？予測モデルって何？？何に対して推定？教師有り学習と何が違うの？？などなど、いろんな疑問が湧いてきそうです（初見のぼくは少なくともそうだった）

ひとつづつ、確認していきましょう。

誰がパラメタ推定したい？予測モデルって何？

パラメタ推定をさかんにやっている分野は主にシュミレータ分野です。気候シュミレーションとか生産工程シュミレーションとか、がよく引き合いに出されます。

なので、パラメタ推定したい人はシュミレーション分野の研究してる人。シュミレーションを使う人。ということになります。

予測モデルとは、シュミレーションのことです。シュミレーションは、パラメタを受け取って、値を出力する機械と言えます。なので、これは関数と表現できます。

パラメタ推定は非線形な挙動をする関数 OR パラメタ数が多い関数に対して有効（だとぼくは思ってます）。
もし、関数が線形 AND パラメタ数が少ないならば、回帰で解けば十分です。

気候シュミレーションや生産管理シュミレーションはとてもじゃないけど、線形な関数とは思えません。

何に対してパラメタ推定する？

パラメタ推定タスクの枠組みを図に書き出してみました。

青枠が、いま利用可能、つまり、手に持っているものです。
緑枠が、得たい値です。

観測データは何らかの現象で発生しています。その現象を関数とみなすことができるでしょう。現象が関数ならば、関数はパラメタを持っているはずです。

上の図でもう少しパラメタ推定タスクを定義してみましょう。

シュミレーション関数（青枠）と候補のパラメタとその出力値（青枠）と観測値（青枠）の３つの道具を使い、そして真のパラメタ（緑枠）を推定するタスク。真パラメタとは、観測値（青枠）を生成した（はず）のパラメタを意味する。

ABC(approximate Bayesian computation)

ABCはパラメタ推定の１手法です。こいつの歴史は古く、1997年のTavareの論文が初出です。

ABCのアイディアは極めて単純です。ABCの気分を書くとこうなります。

ね、極めて単純なアイディアでしょ？

この説明をもう少し定義してみましょう。

アイディアが単純なだけに問題も多いです。例えば問題をあげると、こんな問題が指摘されてます。

などなど・・・素朴なABCには問題が山積みです、実用に使うためには。

そこでカーネルですよ

よく言われてることですが、カーネル空間では非線形っぽいデータ構造を線形っぽく扱えます。例えば、SVMの説明では下のような図がよく掲載されますよね。

少し思い返すと、SVMをはじめて触れたときは意味不明な話でした。なんだかカーネルとかいうわけのわからないやつを使うと、線形分離できる空間になるらしい、、、というのが当時の精一杯の理解でした（いや、今も大して理解レベルは変わってないかも）

この「カーネル空間に移せば（写像すれば）うまく行く」って話は他のアルゴリズムにも言えることです。PCAやら線形回帰やら。

じゃあ、ABCもカーネル空間で解いたらいいんじゃね？というのが"Kernel Approximate Bayesian Computation for Population Genetic Inferences, 2013″です。

細かい説明をできないのですが、すんげー雑にいうと、こうなります。「」みたいな気持ちです。

この操作を端的に説明してるのが、以下のスライドの５０ページ目です。

E^hatが推定されたパラメタになります。びっくりするくらいに線形和で表現されてます。カーネル空間すごいー（棒読み）

自分の理解のために実装してみました。

実行してみると、こうなります。なかなか近い値を推定していんじゃないでしょうか。